Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción o razón de dos números enteros. Algunos ejemplos de números irracionales son la raíz cuadrada de 2 o Pi. Es importante saber reconocer qué tipo de número es para poder trabajar con ellos correctamente.
Para saber qué tipo de número es, se puede utilizar la clasificación que se basa en la relación entre los números enteros y los números racionales. Si un número puede ser expresado como una fracción, entonces es un número racional. De lo contrario, es un número irracional.
El número 5 es un número entero y también es un número racional ya que puede ser escrito como la fracción 5/1. Sin embargo, la raíz cuadrada de 2 no puede ser expresada como una fracción, por lo que es un número irracional.
La demostración de que la raíz cuadrada de 2 es irracional se puede hacer utilizando el método de reducción al absurdo. Supongamos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional y puede ser expresada como una fracción irreducible a/b. Entonces, podemos elevar ambos lados al cuadrado y obtener 2 = a^2/b^2. Como a y b son enteros, esto significa que a^2 es par, lo que implica que a también es par. Si a es par, entonces podemos escribir a como 2c, lo que significa que b^2 = 2c^2. Sin embargo, esto significa que b^2 es par, por lo que b también debe ser par, lo que contradice nuestra suposición inicial de que a/b es una fracción irreducible. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 es irracional.
El mismo argumento se puede utilizar para demostrar que la raíz cuadrada de 3 es irracional. Si suponemos que la raíz cuadrada de 3 es un número racional y puede ser expresada como una fracción irreducible a/b, entonces podemos elevar ambos lados al cuadrado y obtener 3 = a^2/b^2. Al igual que en la demostración anterior, podemos demostrar que tanto a como b deben ser pares, lo que contradice nuestra suposición inicial. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 3 es irracional.
El argumento presente en la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 es un argumento de reducción al absurdo. Este tipo de argumento se utiliza para demostrar que una afirmación es verdadera al demostrar que su negación lleva a una contradicción. En este caso, suponemos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, pero al hacerlo encontramos una contradicción, lo que significa que nuestra suposición inicial era falsa y que la raíz cuadrada de 2 es irracional.
El cuadrado de 3 es 9.
La raíz cuadrada de 5 (√5) es un número irracional.
√3 es un número irracional.