La raíz de 2 es irracional: un argumento de demostración

La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 es un tema recurrente en la matemática, y ha sido objeto de estudio desde la antigua Grecia. En este artículo, se explorará el tipo de argumento presente en la demostración de que la raíz de 2 es un número irracional, y se abordarán algunas preguntas relacionadas con otros números.

El argumento utilizado para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional es un argumento por contradicción. Supongamos que la raíz cuadrada de 2 es un número racional, es decir, se puede expresar como una fracción de dos números enteros. Entonces, podemos escribir:

donde a y b son enteros sin factores comunes. Elevando ambos lados al cuadrado, obtenemos:

Lo que significa que a^2 es igual a 2 veces b^2. Esto implica que a^2 es un número par, y por lo tanto a también es un número par. Si a es par, podemos escribir a = 2k, donde k es un entero. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, obtenemos:

2b^2 = 4k^2

Pero esto implica que b^2 es un número par, y por lo tanto b también es par. Pero esto contradice nuestra suposición inicial de que a y b no tienen factores comunes. Por lo tanto, nuestra suposición inicial de que √2 es un número racional debe ser falsa, lo que demuestra que √2 es un número irracional.

Ahora, abordando las preguntas relacionadas, el cuadrado de 3 es 9. El número √5 es un número irracional, ya que no puede ser expresado como una fracción de dos números enteros. El número 5 es un número entero y racional. El número 3 es un número entero y racional. El número 6 es un número entero y racional.

En conclusión, la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional es un argumento por contradicción, y se basa en la suposición de que √2 es un número racional. Además, otros números como el cuadrado de 3, √5, 5, 3 y 6, tienen propiedades diferentes en términos de su irracionalidad y racionalidad, lo que ilustra la diversidad de los números en la matemática.