Las matrices son una herramienta fundamental en la matemática que nos permiten resolver problemas de manera eficiente y ordenada. Una de las clasificaciones que se les da a las matrices es la de triangular, que a su vez se divide en dos tipos: triangular superior e inferior.
Una matriz triangular superior es aquella en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, los elementos aij son cero para i>j. Por otro lado, una matriz triangular inferior es aquella en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, los elementos aij son cero para i<j.
En ambas matrices, la diagonal principal es aquella que va desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha. En una matriz triangular superior, todos los elementos debajo de esta diagonal son cero. En una matriz triangular inferior, todos los elementos encima de esta diagonal son cero.
¿Cuándo una matriz es dominante? Una matriz es dominante cuando la suma de los valores absolutos de los elementos de cada fila, excluyendo el elemento diagonal, es menor que el valor absoluto del elemento diagonal. Es decir, si la fila i tiene elementos aij, entonces la matriz es dominante si para todo i se cumple que |aii| > ∑|aij|, j≠i.
Las filas de la matriz son las diferentes filas que componen la matriz. Cada fila contiene un conjunto de elementos que se encuentran en la misma posición horizontal dentro de la matriz. Por ejemplo, en la matriz
[1 2 3
4 5 6
7 8 9]
las filas son [1 2 3], [4 5 6] y [7 8 9].
Un ejemplo de matriz triangular superior es
[1 2 3
0 5 6
0 0 9]
en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal (1,5,9) son iguales a cero. Un ejemplo de matriz triangular inferior es
[1 0 0
2 3 0
4 5 6]
en la que todos los elementos encima de la diagonal principal (2,4,5) son iguales a cero.
En conclusión, las matrices triangulares son matrices en las que todos los elementos por encima o debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Estas matrices son de gran utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones y en la optimización de algoritmos. Además, una matriz es dominante cuando la suma de los valores absolutos de los elementos de cada fila, excluyendo el elemento diagonal, es menor que el valor absoluto del elemento diagonal.
Para saber si una matriz es diagonalmente dominante en Matlab, puedes utilizar la función «isdiagdom». Esta función devuelve un valor booleano que indica si la matriz es diagonalmente dominante o no. También puedes calcular la suma de los valores absolutos de cada fila de la matriz y compararla con el doble del valor absoluto del elemento diagonal correspondiente. Si la suma es mayor o igual que el doble del valor diagonal en cada fila, entonces la matriz es diagonalmente dominante.
Para determinar si una matriz es definida positiva, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Comprobar que la matriz sea simétrica, es decir, que sea igual a su traspuesta.
2. Calcular los determinantes de las submatrices principales de la matriz. Las submatrices principales son las matrices obtenidas al eliminar filas y columnas de la matriz original. Si todos los determinantes son positivos, entonces la matriz es definida positiva. Si algún determinante es cero o negativo, la matriz no es definida positiva.
3. Otra forma de verificar si una matriz es definida positiva es comprobar que todos los autovalores de la matriz sean positivos. Los autovalores son las soluciones de la ecuación det(A-λI)=0, donde A es la matriz, I es la matriz identidad y λ es un escalar. Si todos los autovalores son positivos, entonces la matriz es definida positiva. Si algún autovalor es cero o negativo, la matriz no es definida positiva.
Para verificar si el método de Gauss Seidel converge, es necesario que la matriz del sistema sea diagonalmente dominante o simétrica y definida positiva. Además, se debe realizar un análisis de convergencia para evaluar si el método converge o diverge. Esto se puede hacer calculando el radio espectral de la matriz de iteración del método de Gauss Seidel y verificando si es menor que 1. Si el radio espectral es menor que 1, entonces el método converge.