- Los números naturales son: N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
- Las características que tiene este conjunto son:
- – Es un conjunto infinito.
- – Tiene primer elemento, no tiene último elemento.
- – Todo número natural tiene un sucesor, es decir cada número natural, tiene un consecutivo.
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar objetos en la vida cotidiana, estos empiezan desde el número 1 y se suman de manera sucesiva para obtener el siguiente número. En el caso de los números naturales del 1 al 20, estos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20.
Las propiedades de los números naturales son muy importantes para su estudio. Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, es decir, al sumar dos números naturales, siempre se obtiene otro número natural. También son cerrados bajo la multiplicación, ya que al multiplicar dos números naturales, siempre se obtiene otro número natural. Además, los números naturales no tienen inverso aditivo, es decir, no se puede encontrar un número natural que al sumarse con otro número natural, dé como resultado cero.
Para entender si un número es entero, es necesario saber que los números enteros son aquellos que incluyen a los números naturales junto con los números negativos y el número cero. Por lo tanto, si un número no es decimal ni fraccionario, entonces es un número entero. Por ejemplo, -5, 0 y 10 son números enteros.
Los números fraccionarios son aquellos que se representan como una fracción, es decir, una división entre dos números enteros. Algunos ejemplos de números fraccionarios son: 1/2, 3/4, 5/8, 7/3, 2/5, 4/7, 1/10, 3/11, 9/2 y 6/5.
Para saber si un número es racional o irracional, es necesario saber que los números racionales son aquellos que se pueden representar como una fracción, es decir, como el cociente entre dos números enteros. Por otro lado, los números irracionales son aquellos que no pueden ser representados como una fracción, es decir, que tienen una expansión decimal infinita no periódica. Por ejemplo, el número π es un número irracional, ya que su expansión decimal no tiene un patrón repetitivo.
Para saber si un número es racional o irracional, se debe verificar si puede ser escrito como una fracción. Si se puede escribir como una fracción, entonces es un número racional. En caso contrario, es un número irracional.
El número que no es irracional es el número 12, ya que puede ser expresado como una fracción (12/1) y por lo tanto es un número racional.
Para demostrar que la raíz de 2 es irracional, se puede utilizar el método de contradicción. Supongamos que la raíz de 2 es racional y se puede expresar como una fracción irreducible en la forma p/q, donde p y q son enteros y no tienen factores comunes. Entonces, al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos 2 = p^2/q^2. Al despejar p^2, se tiene que p^2 = 2q^2. Esto significa que p^2 es un número par, lo que implica que p también es par. Si p es par, entonces existe un número entero k tal que p = 2k. Al sustituir en la ecuación anterior, se obtiene que (2k)^2 = 2q^2, es decir, 4k^2 = 2q^2 o q^2 = 2k^2. Esto significa que q^2 es par, y por lo tanto, q también es par. Pero esto contradice nuestra suposición inicial de que p/q era una fracción irreducible, ya que p y q tienen factores comunes (2 en este caso). Por lo tanto, se concluye que la raíz de 2 es irracional.
La raíz de 3 es irracional porque no puede ser expresada como una fracción exacta de dos números enteros. Se ha demostrado matemáticamente que la raíz de 3 es un número irracional y su representación decimal es infinita y no periódica.